2008 年河南预赛 · 第 14 题

解答

记 $A=(a+b+c)/3-\sqrt[3]{abc}$，$D=(a+b)/2-\sqrt{ab}$，两者均非负。$f(t)=t^2+t+\sqrt{3}$ 在 $t\ge 0$ 严格递增。均值不等式 $c+2\sqrt{ab}\ge 3\sqrt[3]{abc}$ 恰好给 $A\ge 2D/3$，故 $\lambda =2/3$ 可行，所有更小的正参数也可行。另一方面，取 $a=1,b=4,c=2$，有 $A=1/3,D=1/2$，严格单调性迫使 $\lambda \le 2/3$。所以最大值为 $\boxed{2/3}$。