垫脚石（此题 → 相关题） 2026 年湖南预赛 · P005900
先把有序对象切成先后不交叠的块，计算每块的对象数，再用累计块数定位目标落在哪一块。固定周期给出了最直接的练习；块大小随参数变化时，还要证明块内无重计及相邻块的整体次序。
一个按固定长度的整数周期分块，另一个按生成表达式的主参数分块；共同任务是把大下标拆成块的位置和块内的位置。
培玉 · 一试
2025 年广西预赛
F3填空题数论
设 为全体正整数集，
将 中的元素从小到大排列得到数列 ，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
本题的成员条件只涉及被 整除，故以最小公倍数 为周期分块。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
先用容斥 计算每个长度为 的区间内有多少个元素，再在目标所在的下一周期中排列前几项。
解答
在 中，属于 的数共有
个；属于 的数共有
个。属于 的数是能被 整除但不能被 整除的正整数，在这一周期中 为 ，共有 个。因此由容斥原理，每个长度为 的完整周期中， 恰有
个元素。
由于
前 个完整周期，也就是不超过
的范围内，共有 个 中的元素。一个周期内属于 的前九个正整数依次为
因此第 个元素是下一周期中的第九个，即
复核
对任意正整数 ，不超过 的 中元素个数为
代入 得 ，代入 得 ；且 能被 整除而不能被 整除，所以确有 。
方法总结
由若干整除条件定义的集合，其成员模式通常以相关模数的最小公倍数为周期。先在一个完整 周期内用容斥计数，再用“整周期数加余数位置”定位高序号元素；最后以累计计数函数在 答案前后各检查一次，可同时防止周期边界和下标偏一。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须主动选择60为整除模式周期并正确处理被12整除的剔除与被5整除的补入，再定位周期内第9项。
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同一骨架 2023 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 6 题 · P007137
两题都把有序合并数列的指定项，改为不超过界点的累计个数。先处理被排除的数与两类集合的重复，再选择能整齐计数的共同边界或完整周期；定位目标后还要核该值是合法项，并在前一界点复算排名。
一题两类数因奇偶性互不重复，平方和立方的共同边界便于定位；另一题有整除交集，须先容斥，再按同余周期处理余数位置。
已记下，谢谢！