2013 年湖南预赛 · 第 8 题

复核

若 $\cos x=0$，则 $\sin x=\pm 1$，上式左边为 $\pm \cos 20^{\circ }\ne 0$，右边为 $0$，矛盾。所以 $\cos x\ne 0$。 又 $\cos 20^{\circ }>0$，因而

由 $\cos 10^{\circ }=\sin 80^{\circ }=\sin (60^{\circ }+20^{\circ })$，得 $2\cos 10^{\circ }=\sqrt{3}\cos 20^{\circ }+\sin 20^{\circ }$，故 $\boxed{\tan x=\sqrt{3}}$。 反过来，$x=60^{\circ }+180^{\circ }k$（$k\in \mathbb{Z}$）均使上述恒等变形成立，原方程确有解。