2021 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 11 题

解答

(1) 设 $O{A}_1=r$，$B$ 为 $A_1{A}_n$ 的中点（与 $A_1$ 相邻的边的中点，$\angle A_{1}OB=\frac{\pi }{n}$），则 $OB=r\cos \frac{\pi }{n}$。因 $PO\perp$ 底面，$P{A}_1^2=P{O}^2+r^2$，$P{B}^2=P{O}^2+r^2{\cos }^2\frac{\pi }{n}$。所以 $P{O}^2{\sin }^2\frac{\pi }{n}+P{A}_1^2{\cos }^2\frac{\pi }{n}=P{O}^2+r^2{\cos }^2\frac{\pi }{n}=P{B}^2$。

(2) 设侧棱长 $l$。$\cos \angle A_{i}PB=\frac{\overrightarrow{P{A}_i}\cdot \overrightarrow{PB}}{l\cdot PB}$。$\overrightarrow{P{A}_i}\cdot \overrightarrow{PB}=(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{O{A}_i})\cdot (\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB})=P{O}^2+\overrightarrow{O{A}_i}\cdot \overrightarrow{OB}$（$PO$ 垂直于底面内的向量）。对 $i$ 求和并用正 $n$ 边形 $\sum \overrightarrow{O{A}_i}=\vec{0}$（向量和在底面内整体旋转 $\frac{2\pi }{n}$ 后不变；$n\ge 3$ 时该旋转在底面内只固定零向量，故和为零），得 ${\sum }_{i=1}^n\overrightarrow{P{A}_i}\cdot \overrightarrow{PB}=nP{O}^2$。所以 $\frac{1}{n}\sum \cos \angle A_{i}PB=\frac{P{O}^2}{l\cdot PB}$。又 $\sin \alpha =\frac{PO}{l}$（$\alpha =\angle P{A}_{i}O$），$\sin \beta =\frac{PO}{PB}$（$B$ 是 $A_1{A}_n$ 的中点，$OB\perp A_1{A}_n$，且 $P{A}_1=P{A}_n$ 使 $PB\perp A_1{A}_n$，所以侧面 $P{A}_1{A}_n$ 与底面所成二面角的平面角为 $\beta =\angle PBO$）。各侧面全等，并由绕 $PO$ 的旋转彼此对应，故 $\beta$ 与所选侧面无关。因此 $\boxed{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\cos \angle A_{i}PB=\sin \alpha \sin \beta }$，两者相等。