2024 年甘肃预赛

解答

题给两个分母均非零。交叉相乘并整理，得

因 $a>0$，

与余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 比较，得到

（1）由 $A+C=120^{\circ }$，

当 $A,C>0$ 且 $A+C=120^{\circ }$ 时，$|A-C|<120^{\circ }$，故

上端在 $A=C=60^{\circ }$ 时取得。原分式还排除了 $c=2a$，这对应 $(A,C)=(30^{\circ },90^{\circ })$；其乘积 $0$ 仍可由 $(A,C)=(90^{\circ },30^{\circ })$ 取得，故值域不变。于是

（2）角平分线长度公式与（1）给出

所以 $ac=a+c$，即

令 $x=a-1>0$，则 $c=1+1/x$，从而

等号在 $x=2$，即 $(a,c)=(3,3/2)$ 时成立，且此时原分式有定义。因此