培玉 · 一试
2021 年四川预赛
F3填空题不等式的证明
设 为正实数，
则 的最小值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
若能证明大括号内三式之和不小于 ，便有 ；三组三项均值不等式的根式恰可相乘消去变量。
解答
由算术--几何平均值不等式，
以及
三个根式内各量的乘积为
再对三个立方根使用算术--几何平均值不等式，得大括号内三式之和不小于 。 所以 ，即 。
取 时，大括号内三式都等于 ，故
复核
两层均值不等式在 时同时取等，下界确实可达。
方法总结
求若干表达式最大值的下界，可先控制它们的总和；设计乘积为常数的一组均值不等式往往能闭合估计。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需把含系数2的两式各拆为三项，使三个几何平均内部的变量指数完全抵消，再以共同取等点求极小最大值。
已记下，谢谢！