2018 年天津预赛 · 第 13 题

解答

记 $P(x)=x^3-17x-18$。有 $P(-2)=8>0$、$P(-1)=-2<0$，故由连续性在 $(-2,-1)$ 内有根。它与已知的另外两个根所在区间不重合，次数又恰为3，因此这就是 $x_2$，整数部分为 $\boxed{-2}$。 令 $S=\arctan x_1+\arctan x_2+\arctan x_3$。韦达给出三根和0、两两积和 $-17$、根积18。正切加法公式得

分母为18非零，故公式合法。前两角均在 $(-\pi /2,0)$，后一角在 $(0,\pi /2)$，所以 $-\pi <S<\pi /2$。此区间内正切为 $-1$ 的角只有 $-\pi /4$，故 $\boxed{S=-\frac{\pi }{4}}$。