2021 年四川预赛

解答

在直角三角形 $ACD$ 中，

故 $\angle CAD=30^{\circ }$。又 $AC$ 平分 $\angle DAB$，所以 $\angle BAC=30^{\circ }$。

令 $\theta =\angle ACE$。由凸性及 $\angle BCE=60^{\circ }$，有 $\angle BCA=60^{\circ }-\theta$，从而 $\angle ABC=90^{\circ }+\theta$。在 $△ABC$ 中使用正弦定理，得

另一方面，$D,E$ 所在直线平行于 $AC$，两平行线之间的距离为

故 $CE\sin \theta =3\sqrt{3}$，即

因此

当 $\theta =45^{\circ }$ 时等号成立，且与凸五边形的各项条件相容，所以最小值为