易混 2024 年贵州预赛 · P006505
两题都借“一个表达式必须是整数”制造算术障碍，但何时可以谈整除必须先证清。原变量只是实数时，不能把提取出的另一个实因子当作整数；整数变量的二次方程则可直接要求判别式是整数平方。
前题先由多个质数值推出一个有理表达式的整性，再做模素数分析；后题从整数根条件出发检查平方的素因子指数。
培玉 · 一试
2023 年山东预赛
F3填空题数论
设实数 使得 均为质数，则 的值是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把三个质数依次记号，并利用平方差、立方差把后两项写成 的倍数。
思路
虽然 只是实数，三个差为整数质数会迫使必要的整除关系。
解答
令
其中 均为质数。于是 ，并且
故第三个质数为
它是整数，所以 。若 ，则只能有 ；这时第三项为 ，不可能是质数。故 。
该值确实可取：令 ，则三个差依次为 。所以
复核
当 时 甚至不是整数；当 为奇质数时它含真因子 且另一因子大于 。构造例验证了必要结论不是空集推论。
方法总结
实数表达式被要求同时为质数时，应把“质数必为正整数”转化为整除约束；先提取公因子，再用模质数分析，最后补做存在性构造。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
不能因x、y是实数直接套整数因子，需以两质数p、q恢复和差并表达第三项，由其整数性推出p整除3q²；之后分类和可达构造常规。
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