2008 年河北预赛 · 第 8 题

解答

递推给 $a_{n+1}+1=(\sqrt{a_n+1}+1{)}^2$。因 $a_1+1=1$，归纳可知 $a_n+1\ge 0$，并且 $\sqrt{a_{n+1}+1}=\sqrt{a_n+1}+1$。因此 $\sqrt{a_n+1}=n$，即 $\boxed{a_n=n^2-1}$。