培玉 · 一试
2015 年中科大少年班初试 · 第 1 题
F2填空题函数的值域
函数的值域是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
按绝对值的符号分段。
思路
一个分支可能是常数，另一个分支是有开端点的分式；最后把两个分支的像集合并。
解答
分母 始终为正。 当 时，
当 时，
此时 ，故 ，相应函数值为 。 合并两支，得到
复核
所有非负自变量都取值1，所以右端闭合。下端 仅在 时逼近；由 可知有限负自变量不取该值。
方法总结
含绝对值的有理式应先分段再求像集；常数支可能补上另一支的开端点，分支间的重合值只计一次。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
按绝对值两支及分式单调求值域是常规路线。
已记下，谢谢！