2014 年天津预赛 · 第 13 题

解答

记 $OA=r,OB=s$，对应正交单位方向为 $\mathbf{u},\mathbf{v}$，令 $T=\mathrm{diag}(1/2,1)$。由点在椭圆上，$1/r^2={\mathbf{u}}^{T}T\mathbf{u}$、$1/s^2={\mathbf{v}}^{T}T\mathbf{v}$。正交单位方向给两式之和为矩阵的迹 $3/2$。直角三角形 $OAB$ 的斜边高是 $OP=rs/\sqrt{r^2+s^2}$，所以 $1/O{P}^2=1/r^2+1/s^2=3/2$。于是 $\boxed{|OP|=\sqrt{6}/3}$。