2025 年广州预赛

思路

复数三角不等式在两个向量同向时取等。对 $t\ge 0$，$\sqrt{1+t}\le 1+t/2$ 可通过两边平方验证；预算界 $0\le t\le 3$ 又给 $t^2\le 3t$。

想法从哪来：先把条件中的两个模分别记为非负预算，它们的和被限制，而单位模的量只负责固定尺度。利用三角不等式，第一份预算能控制某个复数的模，第二份预算能控制另一个复数模的平方；目标又对这两个量采用不同幂次，因此预算的分配并不对称。 先得到只含两个非负实数的上界，再用预算总量把其中一个消掉。观察平方项的收益比根式项更大，提示把预算集中在前者；可以用根式的线性上界和有界区间内的平方估计严谨证实。最后反向安排复数方向，让所有三角不等式同时取等，而不是仅让预算数值达到最优；这一步决定实数上界是否真能成为复数问题的最大值。

分别把条件中的两个模记为非负数。由 $|z_2|=1$，三角不等式可把 $|z_1|$ 控制在第一个模加 $1$ 以内，把 $|z_3{|}^2$ 控制在第二个模加 $1$ 以内，于是问题化为两个非负实数的单调估计。最后给出同时达到所有等号的复数构造。