2017 年辽宁预赛 · 第 2 题

解答

记三边 $x,y,z>0$。由总棱长得 $x+y+z=6$，表面积给 $xy+yz+zx=45/4$，故体对角线长 $d=\sqrt{36-45/2}=3\sqrt{6}/2$。若一边为 $t$，另两边的和为 $6-t$、积为 $45/4-6t+t^2$，其判别式须非负：$(6-t{)}^2-4(45/4-6t+t^2)=-3(t-1)(t-3)\ge 0$，故任何边都不小于一。取 $(x,y,z)=(1,5/2,5/2)$ 可同时满足全部条件，达到最短边一。体对角线与该边的最大夹角余弦为 $1/d=\sqrt{6}/9$，所以选 $\boxed{\mathrm{D}}$。