易混 2015 年天津预赛 第 6 题 · P010360
半周长与内切半径都可以转换成面积和切线段条件，但信息量要分清。补充一条指定边，能够固定某个顶点的切线长并约束半角；只给总体数据时，仍可能保留形状自由度，需要构造或排除角型。
一题要求在已知边的条件下求角函数，另一题判断总体数据是否足以保证角型；不能把一次可解的半角关系误当成三边已经唯一。
培玉 · 一试
2016 年天津预赛 · 第 9 题
F3填空题平面几何综合
已知 的周长为 ，内切圆的半径为 ，，则 的值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
半周长、内切半径和已知对边，恰好给出顶角处的切线长与半角正切。
思路
无需先求另外两条边。
解答
半周长 ，顶点A到相邻两切点的切线长为 。以内心I及一条切线垂足作直角三角形，得
因 ，故 ，因此
复核
可独立从面积与海伦公式核验：面积sr=10，令x=s−CA、y=s−AB，则x+y=7、xy=10，得到另外两边5、8。余弦定理给cosA=1/2，仍得A=60°。
方法总结
内切圆半径配半周长和对边时，先检查tan半角=r/(s−a)，往往比求全三边更短。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
半周长、内切圆半径和对边要转接成顶角处的切线长，再在内心直角三角形中求半角正切；关键是识别这条接口，而非先解全三边。
联系 · 1 条
已记下，谢谢！