2011 年湖北预赛 · 第 7 题

解答

当 $n=0$ 时，$0\in A$ 是方程的根，$m=0,1,\dots ,9$ 共给出 $10$ 个合格方程。 当 $n>0$ 时，两根异号，至多有一个非负根；合格等价于存在唯一正整数根 $r\in \{1,\dots ,9\}$。 由 $n=r(r-m)>0$，令 $d=r-m$，则

反之，每个这样的整数对 $(r,d)$ 都给出 $m=r-d\in A$、$n=rd\in A$，且 $r$ 是合格根。 正根的唯一性保证没有重计。由 $d^2\le rd\le 9$，只需分三类：

因此所求总数为 $\boxed{10+9+3+1=23}$。