同一骨架 2026 年贵州预赛 · P006012
把局部不能共存的格子关系画成图后，两题都先处理约束最强的中心，再把剩余关系拆成更小的路径、环或独立部分。这样才能看清哪些选择可以相乘，哪些必须整体计数。
一题选择格子，另一题给格子分颜色；需要控制的都是局部冲突关系。
培玉 · 一试
2025 年山东预赛
方格棋盘中避免角接触的概率
F3填空题概率
在 的方格棋盘中，一枚棋子占据一个方格，且两枚棋子不能占据同一方格。小明随机放入 枚棋子，其中任两枚棋子所在方格不能恰好共用一个方格顶点的概率为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
按棋盘格的奇偶位置分成 两类；禁配关系在两类内部各自形成一个星形图和一个四边形。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
如图把四角与中心记为 类，其余四格记为 类。跨类别的两个方格不会恰好只共用一个顶点。
类中，中心格与四个角格都冲突，而角格彼此不冲突，所以至多选 格；选 格时只能从四个角格中任选三个，共 种，选 格时只有 种。
类四格的冲突关系构成一个四边形，所以至多选 格；选 格必须取一对相对位置，共 种，选 格有 种。放入 枚棋子的合法情形只有
全部摆放方式有 种，因此所求概率为
复核
两类情况互斥且穷尽，因为 类的最大独立数分别为 ；棋子不可区分，所以分母是五格子集数。
方法总结
棋盘上的局部禁配可建成图的独立集问题。利用棋盘奇偶染色把图拆成小连通分量后，最大容量与精确计数都会变得清楚。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须识别中心与角格、边中格两类独立的冲突结构，得到5格合法选择仅有3加2和4加1两类。
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同一骨架 2024 年四川预赛 · P006596
把不能同时选的两个位置连成边，合法选择就成为指定大小的独立集。先找冲突图能分解或记忆的局部结构，再分别计各部分容量与方案数；选择对象是位置子集，不额外排列同类棋子或数。
一题的禁差有有限作用距离，可记录最近若干位；另一题的对角接触关系分成小分量，可按分量选取数分类。
已记下，谢谢！