2024 年中科大少年班营二 · 第 4 题

复核

求和证明使用共同阈值的最大值，故两个尾部估计确实同时成立；整个论证未调用实数的完备性。汉明部分利用的是距离为整数，不能把它直接推广到不同点距离可任意小的一般度量空间。定义采用 $m,n\ge N$，因此固定其中一项为 $x_N$ 合法。

自写延伸例证：更换距离后，柯西列未必尾部恒定。 保持原题三问不变，另考察有理数列 $z_n=3^n$，$n\ge 1$。在三进距离下，对 $m>n\ge N$，

因为 $3^{m-n}-1$ 不被三整除。交换 $m,n$ 同理；$m=n$ 时距离为零。给定 $\epsilon >0$，取同一个正整数 $N$ 使 $3^{-N}<\epsilon$，就控制全部尾项对，故它是三进距离下的柯西列，且 $|z_n{|}_3=3^{-n}\to 0$。各项互异，说明这里不能套用汉明距离的“尾部恒定”。在通常实数距离下，任意阈值后仍有 $|z_{n+1}-z_n|=2\cdot 3^n>1$，所以它不是实数柯西列。这里是解答后的自写距离对照，不是原题另有一问。