2016 年全国高中数学联赛湖北预赛 · 第 8 题

解答

记四面体为 $ABCD$，其中 $AB=6$，其余五棱均为 $5$。令 $M,N$ 分别为 $AB,CD$ 的中点，$O$ 为外接球球心。 由 $AC=BC=AD=BD=5$，得

所以平面 $MCD$ 垂直于 $AB$。因 $OA=OB$，$O$ 位于 $AB$ 的垂直平分面，即平面 $MCD$ 内。 又 $OC=OD$，且等腰三角形 $MCD$ 的中线 $MN$ 垂直于 $CD$，故 $O$ 在直线 $MN$ 上。 由 $CD=5$，

在直线 $MN$ 上以 $M$ 为原点、向 $N$ 为正向，记 $O$ 的有向坐标为 $t$。这样不预先假定球心的位置。 由 $AB\perp \text{平面 }MCD$ 以及 $MN\perp CD$，设外接球半径为 $R$，则

相减可得 $9=16-\sqrt{39}t$，故 $t=7/\sqrt{39}$，进而