同一骨架 2022 年全国高中数学联赛一试（A2 卷） 第 10 题 · P007239
两题的大下标都先压到一个有限周期状态，但原数列会随周期累加固定增量。必须区分状态循环与数值循环，统计完整周期和余段后，再恢复线性增量与起始项。
一个减去线性特解后出现周期，另一个仅个位数进入循环；初始段与周期段的转接方式不同。
培玉 · 一试
2024 年广西预赛
F2填空题递推数列
设数列 满足 ，，其中 等于 的个位数，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先只跟踪个位数，再对一个完整周期中的增量求和。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
个位数满足 。从 开始得
其中 为周期，每周期和为 。从 到 共 项，故
复核
递推从 到 恰好加上 ，项数没有偏移。
方法总结
只依赖末位数的递推，先在模 下找周期，再累加周期增量。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
个位数独立按乘2演化，首项后出现四周期，正确区分初始非周期项与后续加法项数即可。
联系 · 1 条
已记下，谢谢！