2015 年辽宁预赛 · 第 13 题

解答

令 $g(t)=t\ln t$，则 $g^{\prime }(t)=1+\ln t$ 严格递增，$g^{\prime \prime }(t)=1/t>0$。（1）中值定理给 $(g(b)-g(a))/(b-a)=g^{\prime }(\xi )$，其中 $a<\xi <b$，因而位于 $\ln a+1$ 与 $\ln b+1$ 之间。原商同时变换分子分母的符号后就是此割线商，第一问成立。（2）$g$ 在正半轴凸，故 $\boxed{g(\lambda a+(1-\lambda )b)\le \lambda g(a)+(1-\lambda )g(b)}$，展开便是题中所需关系。