2016 年湖北预赛 · 第 10 题

解答

设 $k=[x/8]$，则因 $x$ 为正整数，$k\ge 0$，且

原方程等价于 $[x/7]=k+1$，故又有

特别地，$8k\le 7k+13$，即 $k\le 13$。因此每个正整数解均满足 $x\le 7k+13\le 104$。而 $x=104$ 时 $[104/7]=14$、$[104/8]=13$，符合原方程，故最大正整数解为 $\boxed{104}$。