2014 年湖北预赛 · 第 10 题

解答

记共同焦半距为 $c>0$，椭圆长、短半轴为 $a,b$，双曲线实、虚半轴为 $\alpha ,\beta$，均为正数。 题设轴长关系 $2b=2(2\beta )$ 给出 $b=2\beta$，且

令 $t=\beta /c\in (0,1)$，则

由柯西不等式，

当且仅当 $\sqrt{1+4t^2}=4\sqrt{1-t^2}$，即 $t^2=3/4$ 时取等。 该值在 $(0,1)$ 内；例如取 $c=1,\beta =\sqrt{3}/2,\alpha =1/2,b=\sqrt{3},a=2$，两曲线均非退化且满足全部条件。 故最大值为 $\boxed{5/2}$。