2020 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 4 题

解答

写 $z=u+iv$，原分母要求 $(u,v)\ne (0,1)$。乘以共轭可得商的虚部为 $(u+2v-2)/(u^2+(v-1{)}^2)$，所以轨迹为直线 $u+2v=2$ 删去 $(0,1)$。$|z+3|$ 是该点到 $(-3,0)$ 的距离，直线距离下界为 $5/\sqrt{5}=\sqrt{5}$。垂足为 $(-2,2)$，没有被删去，故最小值 $\boxed{\sqrt{5}}$。