2026 年广东预赛

解答

若 $n\ge 2$，则 $a_1\ne 0$，否则第一个递推式的分母为零。只要递推已经合法定义，所有 $a_k$ 都非零。令

则

由 $r_1=-2026$，得到

第 $k$ 次递推的分母为

当 $k=1,\dots ,1012$ 时它不为零，而 $k=1013$ 时必为零。因此递推最多可以进行到 $k=1012$，即

取任意 $a_1\ne 0$，按照递推依次定义到 $a_{1013}$，上述各分母均非零，故 $n=1013$ 确可达到。答案为