2026 年中科大少年班入围考 · 第 17 题

解答

将方程写成 $z^{n-1}(z+1)=-1$。因 $|z|=1$，得到 $|z+1|=1$，即 $\Re z=-1/2$。因此 $z$ 是非平凡三次单位根，满足 $z^3=1,z+1=-z^2$。原式等价于 $1-z^{n+1}=0$，故 $n\equiv 2(\mathrm{mod}3)$。在区间 $[2,2026]$ 中这些整数是 $2,5,\dots ,2024$，共 $(2024-2)/3+1=\boxed{675}$ 个。