2025 年重庆预赛

思路

求逆像树时每一层都要服从原分支的定义域和值域，不能把指数和对数逆式用于不合法输出。严格递增函数的和仍严格递增，可据此判断根和的端点取值。

想法从哪来：复合函数有三个不同原像，应从公共输出反向逐层追溯，而非把分段式直接嵌套展开。先记公共值为一个参数，分别问指数支与对数支能否达到它；两支都严格单调，所以每一支最多给一个中间值，中间值所在范围又决定下一层有几个原像。 指数支值域有限而对数支值域遍布实数，三原像恰发生在一条中间值只有一个原像、另一条有两个原像的区域。逐层写出逆公式后，先核对这三个根互不重合，才能把它们的和作为一元参数函数。求值域时用单调性，并区分公共值趋近但达不到的边界，与分段端点能够实际取到的边界。

先把公共函数值记为 $t$，逐层求解 $f(u)=t$ 与 $f(x)=u$，可准确判断复合方程何时恰有三个不同原像。