易混 2013 年辽宁预赛 第 11 题 · P009412
两题都能把输入移回基本区间，但平移后要同时追踪比较对象。函数本身周期性与减去线性项后的周期性不同，不能把一个区间里的交点数直接复制到所有区间。
一题周期图像与斜直线相交，各段阈值随位置变化；另一题残差平移不变，先证明基本区间全部零点后才能推广。
培玉 · 一试
2016 年黑龙江预赛 · 第 12 题
F4选择题函数综合
已知以 为周期的函数
其中 。若方程 恰有 5 个实数解，则 的取值范围为（ ）。
- (A)
- (B)
- (C)
- (D)
作答
标准答案：D
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
圆弧段平方前先检查等式两边非负；判别式为零对应相切的一根。周期平移只改变图形位置，不能平移直线后仍用原截距。
想法从哪来：周期函数与直线的交点，不能只在一个周期内数，因为右侧直线没有周期。先利用函数非负和直线上升，删去不可能有根的半轴，再把每个周期中的折线段与圆弧段分别处理。折线部分高度固定，足够远后自然没有交点；剩下的变化只来自被m拉高的圆弧。对每条圆弧把中心平移回原点，右侧变成带常数项的直线，临界情况就是相切。判别式能给出这次相切的阈值，但等号只产生一根，不能当作通常的两根。沿周期顺序比较阈值，再把固定根数与新增根数相加，才能确定开闭端点。
周期图像由半圆弧与三角形段组成。先排负半轴，再分图形计算固定根与随参数增长出现的圆弧根，特别核相切临界点。
解答
因为 ，根只能在 。首个三角形段 与 有固定两交点 ；其后正三角形段均在 ，而 ，无交点。中心圆弧 上，方程左端随横坐标严格减、右端严格增，且两端的差分别正、负，所以对任意 恰有一个交点。对第 个正圆弧，令 ，方程为
右端正，平方后的二次式判别式决定：该段分别有二、一、零根，当且仅当 大于、等于、小于 。所以总数从固定三根开始，第一后续圆弧的临界参数为 ，第二个为 。恰有五根要求第一段多出两根、第二段尚未出现，故
选 。
复核
在下临界只有一个相切根，总数四；在上临界第一段两根、第二段一相切根，总数六，所以两端均不取。各圆弧端点函数为零而横坐标正，不会额外重复根；随参数继续增大，已出现圆弧不会减少交点，故不会在更高周期重新出现五根。 平方后的圆弧方程也可写成 ，任一实根自动有 ，且 ，所以判别式计数不会混入上半支或原区间外的根。
方法总结
周期函数与非周期直线的根数需按各周期段定位，不能只看一个基本周期。相切点只算一个，严格交叉一般给两个，端点还需单独去重。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
按周期拆成圆弧与折线，排负半轴并逐段计根；须控制后续圆弧的相切阈值、切点去重和严格参数端点。
联系 · 1 条
已记下，谢谢！