2013 年天津预赛 · 第 14 题

解答

写 $A=(a,1/a),B=(b,1/b),C=(c,1/c)$，其中 $abc\ne 0$ 且参数互异。记 $s_1=a+b+c,s_2=ab+bc+ca,s_3=abc$，设 $U=(1/s_3-s_1)/2,V=(s_3^2-s_2)/(2s_3)$。把三个中点坐标分别代入，可直接展开得到它们都满足 $x^2+y^2+Ux+Vy=0$。例如 $D=((b+c)/2,(b+c)/(2bc))$；将该式乘 $4b^2{c}^2$ 后，利用 $s_1,s_2,s_3$ 的定义各项恰好抵消，另外两点循环同理。三个不同的双曲线点不可能共线，因为直线与该非退化二次曲线至多有两个交点；故中点三角形也非退化，上式正是它的外接圆。它不含常数项，所以 $\boxed{O\text{ 在该外接圆上}}$。