2025 年吉林预赛

对于每项均是正整数的数列

P : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n},

定义变换 $T_{1}$ ， $T_{1}$ 将数列 $P$ 变换成数列

T_{1} (P) : n, a_{1} - 1, a_{2} - 1, \dots, a_{n} - 1.

对于每项均是非负整数的数列

Q : b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m},

定义

S (Q) = 2 (b_{1} + 2 b_{2} + \dots + m b_{m}) + b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{m}^{2} .

定义变换 $T_{2}$ ： $T_{2}$ 将数列 $Q$ 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 $T_{2} (Q)$ 。

（1）若数列 $P_{0}$ 为 $2, 4, 3, 7$ ，求 $S (T_{1} (P_{0}))$ 的值；

（2）对于每项均是正整数的有穷数列 $P_{0}$ ，令

P_{k + 1} = T_{2} (T_{1} (P_{k})), k \in N .

（i）探究 $S (T_{1} (P_{0}))$ 与 $S (P_{0})$ 的关系；

（ii）证明： $S (P_{k + 1}) \leq S (P_{k})$ 。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F3（会透露解法方向）

变换T1的S不变可直接展开，主要判断是T2排序保平方和且逆序交换使加权和下降；选出交换法后迭代不增结论直接衔接。

用到的方法（会透露解法方向）

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