导数的定义与基本性质

在 $x=a$ 处的导数定义为 $f^{\prime }(a)={\lim }_{h\to 0}[f(a+h)-f(a)]/h$，若该极限存在且有限。它描述局部变化率，而非某个固定非零步长的平均变化率。例如 $f(x)=x^2$ 在 $a=1$ 处的差商为 $2+h$，极限为 $2$。说一个函数可导，应同时保证该点附近的函数值有定义。

在关于 $x$ 的恒等式中，$f^{\prime }(a)$ 的输入已经固定，所以可以先记为常数 $c$。求导后再回到 $a$ 处建立自洽等式。例如 $F(x)=x^2+2x{F}^{\prime }(1)$ 给 $F^{\prime }(x)=2x+2c$；代入 $x=1$ 得 $c=2+2c$，故 $c=-2$、$F(x)=x^2-4x$。不能把常数 $f^{\prime }(a)$ 当成仍依赖 $x$ 的函数。

线性组合可逐项求导；乘积、商、复合则需相应法则。例如 $u(x)=3x^2-2x+5$ 有 $u^{\prime }(x)=6x-2$，所以 $u^{\prime }(1)=4$，而常数 $5$ 的导数为 $0$。导数中仍有自变量时不能先代入一个无关点，再把所得常数用作整条函数的导数。

在有限导数存在时，曲线在 $x=a$ 处的切线为 $y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$。若它经过 $(b,c)$，就得到 $f(a)+(b-a)f^{\prime }(a)=c$。例如 $f(x)=x^2$ 在 $a=1$ 处的切线为 $y=2x-1$，确经过 $(2,3)$。只给切线信息通常不能确定整个函数，却能确定所需的局部线性组合。

若 $u,v$ 在求导点可导，且分母在该点非零，商法则给 $(u/v{)}^{\prime }=(u^{\prime }v-u{v}^{\prime })/v^2$。例如 $g(x)=(x^2+1)/(x+1)$，在 $x=1$ 处有 $g^{\prime }(1)=(4-2)/4=1/2$。虽然函数在 $x=-1$ 无定义，但这不妨碍它在 $1$ 附近求导；若还要除以分子中的量，则必须另查该量能否为零。

函数在区间上可导，若各点导数都小于 $0$，则任意两点间由中值定理可得后者函数值更小，从而严格递减。这个结论不要求导数连续。相反，某一点导数为零不能单独判定极值，例如 $x^3$ 在 $0$ 处导数为零，却在其两侧仍保持严格递增。

若已知 $f^{\prime }(t)<m$，令 $H(t)=f(t)-mt-b$，便有 $H^{\prime }(t)<0$。再给出一个零点，就能判断其两侧的正负。例如 $f(t)=t/3+2$，减去 $t/2$ 后得到 $H(t)=2-t/6$；它在 $12$ 处为零，且恰在 $t<12$ 时为正。一次函数的截距应用已知函数值来选定。

若先解得 $t<1$，再令 $t={\log }_{b}x$，必须先保留 $x>0$。当 $b=2$ 时得到 $0<x<2$；当 $b=1/2$ 时对数递减，得到 $x>1/2$。两种还原方向不同，但都不能把非正输入纳入解集。严格不等式在分界点处通常不取等，仍需代回原式确认。