2015 年河南预赛 · 第 2 题

解答

棱长 $\sqrt{2}$ 的正四面体高为 $H=\sqrt{2/3}\sqrt{2}=2/\sqrt{3}$，四个面面积相同，记为 $S$。将内部点 $P$ 连向各面，四小锥体积之和为总体积，所以 $S(d_1+d_2+d_3+d_4)/3=SH/3$，即四距离和为 $H$。由柯西，$\sum d_i^2\ge H^2/4=1/3$。取 $P$ 为正四面体中心，四距离都为 $H/4$，故 $\boxed{\min \sum d_i^2=1/3}$。