易混 2021 年贵州预赛 · P006986
看起来只是两个单位分数之间的符号改变,配成固定乘积以后,正整数条件却会给因子不同的允许范围。不能看到相同的平方乘积就直接照搬因数个数;应先把原分母为正的要求译回因子范围,并说明有序数对的口径。
相加与相减会改变变形后因子落在平方根哪一侧,从而改变配对和计数。
方程
的正整数解的组数为。
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
把分式方程配成两个整数因子的乘积,再用 计算因数个数。
原方程等价于
即
由原方程可知 。反之,对 的每个正因数 , 令
便唯一得到一组正整数解。
由于
其正因数个数为
因此按有序数对 计,正整数解共有 组。
因子 与互补因子交换时对应 的交换,除 外是两组不同的有序解; “解的组数”按方程组通常约定的有序数对计数,九个正因数一一对应且无遗漏。
单位分数方程 可配成 ;正整数解数就转化为 的正因数个数。
配成两个正平移量乘积为2021平方,每个正因数对应唯一有序解,再用质因数指数计数。
易混 2021 年贵州预赛 · P006986
看起来只是两个单位分数之间的符号改变,配成固定乘积以后,正整数条件却会给因子不同的允许范围。不能看到相同的平方乘积就直接照搬因数个数;应先把原分母为正的要求译回因子范围,并说明有序数对的口径。
相加与相减会改变变形后因子落在平方根哪一侧,从而改变配对和计数。
已记下,谢谢!