2012 年河北预赛（高三卷） · 第 12 题

解答

（1）既然最大值为负四，代入一得 $-a\le -4$，故 $a\ge 4$。此时 $f^{\prime }(x)=1/x-a<0$ 在整个 $[1,e]$ 成立，最大值恰为 $-a$，所以 $a=4$，$\boxed{f(x)=\ln x-4x}$。（2）$g(x)=\ln x-ax+1/x-a$，$g^{\prime }(x)=(x-1-a{x}^2)/x^2$。若 $a\ge 1/4$，分子处处非正，至多一个孤立零点，$g$ 严格递减；若 $0<a<1/4$，分子在两个正根之间为正、两侧为负，函数不是单调函数。因此 $\boxed{a\in [1/4,+\infty )}$。