2011 年山西预赛 · 第 9 题

解答

角比为 $A:B:C=1:3:9$，故令 $\theta =\pi /13$，三角依次为 $\theta ,3\theta ,9\theta$。记 $T=\cos \theta +\cos 3\theta +\cos 9\theta$，$U=\cos 2\theta +\cos 6\theta +\cos 8\theta$。由降幂与积化和差，$T^2=3/2-T+3U/2$。又利用 $\cos 9\theta =-\cos 4\theta$、$\cos 8\theta =-\cos 5\theta$，得 $T-U=\cos \theta -\cos 2\theta +\cos 3\theta -\cos 4\theta +\cos 5\theta -\cos 6\theta =1/2$。最后的等号可将和式乘 $2\cos (\theta /2)$，相邻项望远镜相消，只剩 $\cos (\theta /2)-\cos (13\theta /2)=\cos (\theta /2)$。于是 $T^2=3/4+T/2$，即 $4T^2-2T-3=0$。因 $T=\cos \theta +\cos 3\theta -\cos 4\theta >0$，只保留正根，得到 $\boxed{T=(1+\sqrt{13})/4}$。