培玉 · 一试
2009 年山西预赛 · 第 9 题
F3解答题平面几何综合
是直线 外的任意一点。对于 上的任意三点 ，若 、、 的外接圆圆心分别为 ，证明： 四点共圆。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
把直线放在一条不经过原点的水平线上，并令P0为原点。
思路
三个外心的复坐标呈两两乘积形式，取倒数后便回到原来的三个共线点。
解答
以P0为复平面原点，取 ，，写 。由三角形外心到原点及两底点等距，其坐标为
p2、p3循环同理。因此
右边是同一个非零复数乘以三个共线点，所以三个倒数共线，且其所在直线不经过原点。为说明反变换的几何意义，任意不过原点的直线可写为 ；代入z=1/w并乘|w|²，得 ，这是一条过原点的圆。故p1、p2、p3和原点共圆，即
复核
M1、M2、M3为题设三个不同点，且h≠0，故各三角形非退化，各mi和pi均非零。乘以同一非零复数保持共线及不过原点，反变换得到的是非退化圆。外心公式可直接代入2Re(p1共轭m2)=|m2|²及另一底点核验。
方法总结
多组外心共圆可尝试把中心设为原点；两两乘积坐标取倒数后常转成共线，反演的直线圆互换可直接用方程证明。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
多组外心先用等距关系得到两两乘积式坐标，再取倒数化成同一非零复数倍的共线点；还须以方程说明不过原点的直线在倒数变换下变成非退化过原点圆。
已记下，谢谢！