2020 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 6 题

解答

设底面中心H、棱锥高h。底面外接圆半径 $1/\sqrt{3}$，由侧棱1得 $h^2=2/3$。球心在PH上，设其到底面高度d，等距条件 $h-d$ 的平方等于 $d^2+1/3$，故 $d=h/4$。中点平面LMN到底面高度h/2，距球心h/4，与底面相同。球上等距平面的截圆同半径，所求面积等于底面外接圆面积 $\boxed{\pi /3}$。