2025 年云南预赛

解答

（1）由短轴长 $2b=2$，得 $b=1$。将点 $A$ 代入椭圆方程：

故 $a^2=2$。椭圆的标准方程为

（2）因直线 $l$ 不与 $x$ 轴垂直，可设

设 $M(x_1,y_1)$、$N(x_2,y_2)$。联立直线与椭圆，得到

直线与椭圆有两个不同交点，当且仅当判别式

即 $k^2>3/2$。

因为 $y_i=k{x}_i+2$，所以

由（1）的根差公式，

令 $t=k^2>3/2$，则面积的平方为

求导得

故 $Q(t)$ 在 $t=7/2$ 处取得最大值 $1/2$。于是面积的最大值为