培玉 · 一试
2021 年山东预赛
F4填空题不等式的证明
设 ，则
的最大值是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
定向配方是把平方权重拆成相邻边上的两部分，再用A²+B²≥2AB。每条边的取等比需与相邻边一致，不能分别独立选择。
想法从哪来：分子是一条链上的相邻乘积，分母是各点的平方权重，尝试把每个平方的系数分给左右两条边，就能逐边用均值压住乘积。系数怎么分不能随意：若每条边都产生同一倍数，才可合并成分子；还需让每条边的等号比例彼此相容。可以先从对称候选x=v、y=u出发，找出一组正的比例，再按比例反推平方项的分配。这样设计出的四组非负平方既给统一上界，又附带可取等证书。齐次性允许固定一个尺度，最后代入整条正比例链检查分母拆分没有少算或重复某变量。
把分母拆成四组二次项，逐组用均值不等式控制分子中的四个相邻乘积，并检查等号链能同时成立。
解答
将分母写成
对四组分别使用 ，得
因此
取
时四组不等式同时取等，故
复核
给出的等号变量全部为正，并逐项满足四组配方的比例条件。
方法总结
链式乘积和的最值可按相邻乘积定向拆分二次型；系数应设计到所有等号比例首尾相容。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需将分母系数沿四条相邻乘积分配为相容权重，使四个均值不等式给同一常数且等号比例同时满足。
已记下，谢谢！