2025 年浙江预赛

解答

在等腰三角形 $PAB$ 中，$AB=2$，$PA=PB=\sqrt{5}$，故 $P$ 到 $AB$ 的距离为 $\sqrt{5-1}=2$。由于面 $PAB\perp$ 底面且交线为 $AB$，这条垂线也是棱锥的高。

设 $\angle BAD=\alpha$。则

对固定的 $BD$，因 $BC=2$，三角形 $BCD$ 的面积不超过 $BD$，且 $BC\perp BD$ 时取等号。 于是底面积不超过

令 $t=\sin (\alpha /2)\in (0,1)$，则

等号在 $t=\sqrt{3}/2$ 时成立。相应的点 $C$ 可以在底面中取到，故最大底面积为 $3\sqrt{3}$，体积最大值为