一试训练题

解答

令 $g(x)=f(x)+x^2$。则 $g(x+y)=f(x+y)+(x+y{)}^2=f(x)+f(y)-2xy+x^2+2xy+y^2=g(x)+g(y)$，所以 $g$ 可加，从而 $g(0)=0$，$g(-x)=-g(x)$。设 $g(1)=c$，则 $f(1)=c-1$，$f(-1)=-c-1$，所以 $f(1)f(-1)=1-c^2\ge 1$，得 $c=0$。可加性给出 $g(5)=5g(1)=0$，又 $g(5)=2g\left(\frac{5}{2}\right)$，所以 $g\left(\frac{5}{2}\right)=0$。因此 $f\left(\frac{5}{2}\right)=g\left(\frac{5}{2}\right)-\frac{25}{4}=\boxed{-\frac{25}{4}}$。