2017 年山西预赛 · 第 9 题

思路

平均关系对平移不变：若 $3t=a+b+c$，则 $3(t+h)=(a+h)+(b+h)+(c+h)$。分块构造要同时保证元素不重复并覆盖全集。

想法从哪来：每组里“某数等于另外三数平均”的身份可能变化，逐一指定平均数会让分类很乱。先只看整组的和：无论哪一个是平均数，四数和都是四倍整数。把所有组相加，立即得到总和的整除限制，这比检查单组强得多。必要条件出现以后，先试满足它的最小规模，找一个可平移复用的小模块；因为所有数同时加常数时，平均关系保持不变，所以一个连续八数的分拆就能搬到每个连续区间。最终验证每块内部合法、不同块无重无漏，便从一个小例子得到全部允许规模，而不需为每个n重新构造。

每组四数之和必须被四整除，先从总和得到奇偶限制；充分性只需构造两个组并作平移复制。