2016 年全国高中数学联赛一试 · 第 7 题

解答

双曲线的半实轴为 $1$、半虚轴为 $\sqrt{3}$，故焦距 $F_1{F}_2=4$。由右半支的定义，

先说明 $F_2$ 位于线段 $PQ$ 内。否则

这与非退化三角形 $F_{1}PQ$ 的严格三角不等式矛盾。因此 $PQ=P{F}_2+Q{F}_2$。 由 $P,Q,F_2$ 共线及 $\angle F_{1}PQ=90^{\circ }$，得

结合 $P{F}_1-P{F}_2=2$，有

直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和减去斜边后的一半，所以