2011 年河南预赛 · 第 10 题

解答

设菱形边长为 $a$，取 $A=(0,0,0),D=(a,0,0),B=(-a/2,\sqrt{3}a/2,0),C=(a/2,\sqrt{3}a/2,0),P=(0,0,h)$。则 $E=(0,\sqrt{3}a/2,0)$。（1）$AE$ 同时垂直 $AD,PA$，所以 $AE\perp$ 面 $PAD$，从而 $\boxed{AE\perp PD}$。（2）对 $H\in PD$，$E$ 在面 $PAD$ 上的射影为 $A$，故线面角的正切为 $EA/AH$。$A$ 到 $PD$ 的垂足在线段内部，最短 $AH=ah/\sqrt{a^2+h^2}$。所以最大正切为 $\sqrt{3}\sqrt{a^2+h^2}/(2h)=\sqrt{6}/2$，得 $h=a$。缩放取 $a=h=1$，则 $F=(1/4,\sqrt{3}/4,1/2)$。对棱 $AF$，将 $E,C$ 的位置向量分别去掉沿 $AF$ 的分量，所得平方模为 $15/32,1/2$，点积为 $3/8$。它们指向题定的两个半平面，所以 $\boxed{\cos (E-AF-C)=(3/8)/\sqrt{15/64}=\sqrt{15}/5}$。