2015 年河北预赛 · 第 14 题

解答

（1）设两切线交点 $Q=(u,v)$，切点弦为 $ux/2+vy=1$。它过 $P=(1,1/2)$，所以 $\boxed{u+v=2}$。反过来，此直线上有 $u^2/2+v^2\ge (u+v{)}^2/3=4/3>1$，故每个 $Q$ 都在椭圆外，有两条不同切线，其切点弦经过 $P$，整条直线都能取得。（2）按 $X=x/\sqrt{2},Y=y$ 化为单位圆，记 $P_0=(1/\sqrt{2},1/2)$、$Q_0=(u/\sqrt{2},v)$，则 $P_0\cdot Q_0=1$。令 $R=|Q_0{|}^2$，柯西给 $R\ge 4/3$。单位圆切点弦的弦心距为 $1/\sqrt{R}$，故弦长 $2\sqrt{R-1}/\sqrt{R}$、交点到弦的高 $(R-1)/\sqrt{R}$，三角形面积为 $(R-1{)}^{3/2}/R$。恢复面积倍率 $\sqrt{2}$。函数导数为 $\sqrt{R-1}(R/2+1)/R^2>0$，所以最小值在 $R=4/3$，得到 $\boxed{S_{\min }=\sqrt{6}/12}$。