2017 年山西预赛 · 第 5 题

解答

直线代入抛物线得到 $k^2{x}^2-(4k+8)x+4=0$。两交点中点横坐标为二，所以 $(4k+8)/k^2=4$，得 $k=2$ 或负一。负一时交点方程为 $(x-2{)}^2=0$，只有一个切点，不符合两点条件。取 $k=2$，两横坐标为 $2\pm \sqrt{3}$，故弦长为 $2\sqrt{3}\sqrt{1+2^2}$，即 $\boxed{2\sqrt{15}}$。