2026 年中科大少年班营一 · 第 5 题

解答

（1）变换 $(x,y)\mapsto (x/a,y/b)$ 的行列式为 $1/(ab)$。对非退化三角形，面积比为 $\boxed{1/(ab)}$。（2）先设 $a\ge b$。在第一象限的 $y\ge x$ 部分，两个椭圆二次式之差为 $(x^2-y^2)(1/a^2-1/b^2)\ge 0$，故第一个椭圆盘的限制较强。公共区域这一部分恰是第一个椭圆盘内从对角射线至正纵轴的扇形。按第一问的伸缩，它成为单位圆上的扇形，中心角为 $\phi =\arctan (b/a)$，所以原面积为 $ab\phi /2$。第一象限下半部分由交换横纵坐标对称得到，面积相同；再用四象限对称，总面积为 $4ab\arctan (b/a)$。交换 $a,b$ 后通式为 $\boxed{4ab\arctan (\min (a,b)/\max (a,b))}$。