2025 年福建预赛

思路

加权拆分仍只使用普通均值不等式：两个非负数的和至少为两倍几何平均，三个正数的和至少为三倍立方根乘积。设计权重时应把每个原变量的系数合计核回。

想法从哪来：原式整体齐次，真正需要优化的是一个比值，变量的共同尺度无关。平方根适合二元均值，立方根适合三元均值，因此试把右侧总和按权重分给这两组，再单留一份一次项。权重不是任取的：两组产生的根式系数需要一致，而且各自的等号条件必须能同时满足。 可以先在候选比例下反向设权，让二元组中两项相等、三元组中三项相等，再检查每个变量的总预算是否正好拼回右侧。这样得到的是一个全正变量域的恒成立上界，而非数值搜索结果。最后用这组比例直接计算原比值，说明任何更小常数都会失败；最佳常数的充分性与必要性就同时完成。

三个根式分别适合二元和三元均值不等式。将 $4(x+y+z)$ 拆成三组， 使二元组的乘积产生 $xy$、三元组的乘积产生 $xyz$，并让两组等号条件相容。