2020 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 9 题

解答

由A在 $(0,\pi )$，$A=\pi /4$ 或 $3\pi /4$。前者 $B=3\pi /4-C$、$0<C<3\pi /4$，目标化为 $\sin (C+\pi /4)$，其像为 $(0,1]$。后者 $B=\pi /4-C$、$0<C<\pi /4$，目标为 $(\sqrt{2}/2)\sin C+(3\sqrt{2}/2)\cos C$。它在 $C=\arctan (1/3)$ 取内部最大值 $\sqrt{5}$；端点极限分别是 $3\sqrt{2}/2$ 与2，右端2不取。连续性及导数由正转负给像 $(2,\sqrt{5}]$。故完整范围 $\boxed{(0,1]\cup (2,\sqrt{5}]}$。