2022 年福建预赛

思路

连续函数在闭有界区间上取得最大最小值；开端极限与内部值比较后可先排除两端邻域。基本不等式ln x≤x-1适用于x>0。

想法从哪来：第一问先代一个自然点找参数必要界，再看临界值能否用基本对数界验证；只有两步都成立才能叫最小参数。第二问换成“最大值是否存在”，不能只看导数零点，因为定义域左端不包含零，而函数在那里的极限恰为零。先判断内部能否达到非负值：若能，结合另一端趋负无穷就能把最大值锁在闭区间；若处处负，每个候选都能被更靠近左端的值超过。这个存在性判据再分离参数，变成一个辅助函数能达到多大的问题。临界参数下内部确有零值，所以上端应保留，而不是因左端开区间误删。

第（1）问先代入 $x=1$ 得必要条件，再用 $\ln x\le x-1$ 验证临界值。第（2）问的定义域为 $x>0$，左端点不属于定义域，是否存在最大值取决于函数能否在内部达到不小于左端极限 $0$ 的值。